فضاهای اردوش جدایی ناپذیر

در سال ‎1940‎ پاول اردوش ‎cite{h8}‎ دو فضای توپولوژیک جالب توجه را معرفی کرد، که امروزه آنها را با نامهای فضای اردوش و فضای اردوش کامل می شناسیم. هرکدام از این دو فضا در فضای هیلبرت ‎$ ell^2 $‎ متشکل از دنباله های حقیقی با مربع جمعپذیر ساخته می شوند. فضای اردوش ‎$ er $‎ زیرفضایی از ‎$ ell^2 $‎ می باشد، بطوریکه تمامی مولفه های آن گویا هستند و فضای اردوش کامل ‎$ erc $‎، هر مولفه اش از دنباله ی همگرای ‎$ {0 } cup { 1/n‎ : ‎n in nn } $‎ انتخاب می شود. اردوش نشان داد که هر دو فضای فوق یک بعدی و تماماً ناهمبند هستند، همچنین مربع آنها نیز یک بعدی است. این خواص ویژه فضاهای اردوش و اردوش کامل را به مثالهای مهمی در نظریه ی ابعاد تبدیل کرده است. با توجه به کاربرد وسیع و اهمیت فضاهای اردوش، ساختن و بررسی نمونه های مشابه آن در رده های عمومی تر مورد توجه توپولوژی دانها قرار گرفت. یکی از این گامها بررسی در حالت جدایی ناپذیر می باشد. در سال ‎2005‎ دیکسترا زیرفضای ‎$ scre $‎ از فضاهای باناخ ‎$ ell^p $‎ که از حاصلضربهای شمارشپذیر زیرفضاهای صفربعدی ‎$ rr $‎ ساخته می شود، را با این هدف که کدامیک خواص مشابهی با فضای اردوش دارند، مطالعه نموده است. در این پایان نامه در حالت عمومی به بررسی فضای ‎$ scre_mu $‎ که متناظر با حاصلضرب ‎$ mu $‎ از زیرفضاهای صفربعدی ‎$ rr $‎ در فضاهای باناخ جدایی ناپذیرمی باشد، بررسی کرده و ارتباط آنها را با فضای اردوش کامل روشن می سازیم. % فضای ‎$ x $‎ را صفربعدی می نامیم هرگاه دارای پایه ای متشکل از مجموعه های بسته باز باشد. در فصل اول مطالبی مقدماتی از توپولوژی عمومی آورده شده است، همچنین مقدمه ای کوتاه از نظریه ی ابعاد توپولوژیک بعنوان یک بخش از این فصل ذکر گردیده است. با توجه به اینکه توابع نیم پیوسته کاربرد وسیعی در این پایان نامه دارند، بخش سوم فصل اول به این موضوع اختصاص داده شده است. در فصل دوم فضاهای اردوش معرفی می شوند و برخی ویژگی های آنها را مورد بررسی قرار می دهیم. در فصل سوم به معرفی و مطالعه ی فضاهای ‎$ scre_mu $‎ خواهیم پرداخت. ابتدا بعد استقرائی کوچک ‎$ scre_mu $‎ را بررسی می کنیم. در دو بخش پایانی این فصل دو حالت خاص از فضاهای اردوش جدایی ناپذیر، که بترتیب عبارتند از فضاهای اردوش جدایی ناپذیر بسته و فضاهای اردوش جدایی ناپذیر کامل را بررسی خواهیم کرد. در فصل چهارم کاربردهای این توسیع را مشاهده خواهیم کرد. از جمله مهمترین آنها انطباق سه تابع بعد برای ‎$ scre_mu $‎ می باشد. بخش آخر این فصل به اثبات ناپایداری فضای اردوش کامل جدایی ناپذیر اختصاص داده شده است.